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积分第一中值定理新上映_积分公式表大全(2024年12月抢先看)

内容来源：兔子在线电影所属栏目：导读更新日期：2024-12-01

积分第一中值定理

数学分析笔记：从基础到进阶 ### 数列极限 𐟚€ 实数系的连续性：确界原理、Dedekind分割原理、Stolz定理、收敛准则（单调有限定理、柯西收敛准则、Bolzano-Weierstrass定理）、闭区间套定理、归结原则。两个重要的极限：连续函数的定义，第一类间断点（可去间断点、跳跃间断点），第二类间断点（无穷间断点或振荡间断点）。函数极限的性质 𐟓ˆ 唯一性：函数极限在自变量趋近于某个值时，极限值是唯一的。局部保号性：函数在某点的极限与函数在该点的值符号相同。局部保序性：函数在某点的极限与函数在该点的值大小关系一致。局部有界性：函数在某点的极限与函数在该点的值都存在且有限。两边夹准则：函数被两个极限相同的函数夹在中间，其极限也存在且与这两个函数相同。无穷小量和无穷大量阶的判断：闭区间上的连续函数具有有界性、最值性、零点、介值性、一致连续性。反证法是一种有效的证明方法。区分一致连续和点点连续。一元微分 𐟓 代数学基本定理：一元n次多项式在复数域上有n个解。微积分基本定理：NL公式，可导一定连续，可导等价于可微。复合函数求导（链式法则）：复合函数的导数等于内层函数和外层函数的乘积。隐函数求导：隐函数的导数可以通过隐函数定理求解。一阶微分方程不变性：微分方程的解与自变量的变化无关。微分中值定理及其应用 𐟔 费马引理（Fermat）：极值点的导数为0。罗尔定理（Rolle）：函数在区间两端相等，中间有一点导数为0。拉格朗日定理（Lagrange）：中间导数等于斜率。柯西中值定理（Cauchy）：引入了两个函数，凹凸函数，不等式（三角不等式、均值不等式、Jensen不等式、Young不等式、Holder不等式）。洛必达法则：实际上是柯西中值的推广应用。泰勒展开：Peano余项和Lagrange余项。不定积分 𐟌 换元积分法（第一类和第二类）：通过换元法求解不定积分。分步积分法：分步积分法适用于被积函数包含不同类型项的情况。有理函数积分法：有理函数的积分可以通过部分分式法进行。定积分 𐟓Š 分割、近似、求和、取极限：黎曼可积，Darboux上和等于下和（上和不增，下和不减），必要条件是函数有界。基本性质：线性性、保序性、区间可加性、积分第一中值定理。反常积分、瑕积分、二元无穷限积分：通过求Cauchy主值的方法判断积分收敛的方式（Cauchy判别法、比较判别法、A-D判别法）。 PS: 闭区间上的连续函数一定可积且有界且一致连续，闭区间上的单调函数一定可积。点火公式要记住（sin和cos的n次方在0到2上的积分，考虑n为偶和n为奇，偶的时候从1/2开始要乘2，奇的时候从1开始）。

李林第三套卷子复盘：92分的心路历程第三套卷子的估分是92分，真是让人又惊又喜！𐟎‰ 选择题错了4个，蒙对1个第一题：不能直接用积分中值定理，需要先积分出fx才能计算。第三题：任意点的切线方程有三层含义：函数值相等、导数值相等、二阶导为零。在此基础上求导或用泰勒公式都可以。第五题：求出微分方程后，利用等价无穷小直接计算参数；或者利用无穷小得出原函数在该点等于零，导数等于1，代入求参数。第六题：区域为圆但圆心不在原点时，三种思路：平移坐标轴、利用质心、划线法。第七题：平面关系和方程组解的联系。三个平面有交线说明方程组有无穷多解。第八题：有行列式的值和伴随矩阵，操作矩阵方程得到特征多项式方程。第九题：具有可加性的分布有三个：泊松分布、二项分布和卡方分布。记住泊松分布的分布率很重要。第11题：凑不出来就直接先除可爱因子，不要强求。第14题：欧拉方程记得背。第15题：通过一次初等变换得到另一个矩阵，求逆或求伴随都可以在这个变化式上进行。伴随矩阵的行列式是原行列式的n-1倍，所以结果统一成A星是操作变化的方向。第16题：经验告诉AB互补，a交b是空集。两边同时取交或并，看看能不能得出新关系。通过这次复盘，我对这套卷子的理解和掌握更加深入了。希望下次能取得更好的成绩！𐟒ꀀ

张宇八套卷：中值定理的意外惊喜与挑战今天上午起晚了，急匆匆地跑去图书馆，结果忘记带答题卡，只好在A4纸上答题。整个过程用了2.46分钟，其中40多分钟都在死磕中值定理。这道题出现在第19题的位置，真是让人头疼。我顺着思路想了十来分钟，结果没能做出来，只好继续往下写。填完概率论的答案后，我回头再次尝试证明f（1）=1。期间多次与正确思路擦肩而过，最后我决定再给五分钟，结果真的碰到了正确思路，而且答案更简洁。我套了积分号，构造了变限积分，相当于多用了一次罗尔定理。最后结果是错了两个小题（填空第一道应该是对的），概率论大题的似然估计也错了。说说张宇第二套卷，有几个地方让我印象深刻：选择题：分段函数的极值点和拐点判断线代选择题：实对称矩阵的充要条件（我错了）填空第一道：微分方程解的结构概率论大题第一问：似然估计（其实类型在880上见过，但有一点创新，比较难想到）线代大题考的是证明，相当于复习了一下相关无关的一些证明。总体来说，这张卷子还算满意，虽然还是有瑕疵。如果不死磕中值定理，其他题用时和李林差不多。这套选填花了45分钟，包括第一次想中值定理花的14分钟，一共是2小时。誊写完答案没有检查，再重新想中值定理又花了46分钟。中值定理和积分不等式这类的题，我希望它要不就不出，要不就出压轴题，别放到19题这种位置。放也不是，不放如果一下子没有想到正确角度，超级浪费时间。这道题的题干诱导性太强了，我一看他要证的东西，就想构造F（x）=xⲦ（x），F（0）=0，只要证F（1）=f（1）=1用一次罗尔就出来了，结果这个f（1）=1死活搞不出来。又有一点信心了，加油加油！

25李永乐六套卷卷一：失败中的反思今天真是糟糕透了，做了25李永乐六套卷的卷一，结果只得了118分。真是让人失望的一天。原本以为换一套试卷会好一些，结果发现李永乐的试卷比张宇八套卷还要难。很多高数知识点都忘记了，真是让人头疼。不过，感觉这套试卷更偏向数二的内容，二重积分的中值定理完全没想到。分类讨论和放缩，以及反常积分的敛散性判别题做得也不多。第17和19题都是二重积分换元法，一张试卷考两个这样的题目有点多。虽然17题做对了，但19题的雅可比行列式列错了，第一问就没做出来。第20题的不等式证明题目，精度要求很高。之前只做过八分之一的题目，这里是十六分之一，凑不出来。总之，这次考试让我意识到自己还有很多需要加强的地方。希望下次能做得更好。

积分第一/第二中值定理的证明与理解 ### 积分第一中值定理 𐟓– 积分第一中值定理是这样的：如果函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上都可积，并且f(x)在[a,b]上不变号，那么存在某个c∈[a,b]，使得∫f(x)g(x)dx=f(c)∫g(x)dx。这里的M和m分别表示f(x)在[a,b]上的上确界和下确界。特别地，如果f(x)在[a,b]上连续，那么根据闭区间上连续函数的中间值定理，存在某个c∈[a,b]，使得f(c)=∫f(x)dx。因此，积分第一中值定理的结论就变成了∫f(x)g(x)dx=f(c)∫g(x)dx。这个定理的几何意义也很直观：当f(x)≥0时，上式的左边表示由曲线y=f(x)和直线y=x围成的曲边梯形的面积，它等于以[a,b]为底，某条以f(x)为高的短形面积。积分第二中值定理 𐟓 积分第二中值定理则是这样的：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上可积，而g(x)在[a,b]上单调，那么存在某个c∈[a,b]，使得∫f(x)g(x)dx=f(c)∫g(x)dx。这个定理的证明过程稍微复杂一些，但基本思路是利用分部积分法和单调函数的性质。具体来说，记F(x)=∫f(t)dt，那么F(x)在[a,b]上连续，并且是f(x)在[a,b]上的一个原函数。利用分部积分法，我们可以得到∫f(x)g(x)dx=F(x)g(x)|a^b-∫F(x)g'(x)dx。由于g(x)在[a,b]上单调，因此g'(x)保持定号，从而存在某个c∈[a,b]，使得F(c)g'(c)=0。这样，我们就得到了∫f(x)g(x)dx=F(c)g'(c)=f(c)∫g(x)dx。特殊情况 𐟌𑊊当f(x)=1时，积分第一中值定理的结论就变成了∫g(x)dx=g(c)∫1dx，即∫g(x)dx=g(c)(b-a)。这个结论的几何意义也很直观：它表示以[a,b]为底，某条以g(x)为高的短形面积等于g(c)(b-a)。类似地，当f(x)=1时，积分第二中值定理的结论也变得很简单：∫1㗧(x)dx=1㗢ˆ맨x)dx=g(c)(b-a)。总结 𐟓 无论是积分第一中值定理还是第二中值定理，它们都是积分理论中的重要结论。通过这些定理，我们可以更方便地计算一些复杂的积分表达式，并且能够更好地理解积分与函数之间的关系。希望这篇文章能帮助你更好地理解这些定理！

高数前三章重点难点解析与框架图 𐟎“ 从今天开始，我们将按照大纲的章节划分，将每一章的考点以框架图的形式呈现出来，帮助考生在脑海中形成系统的知识体系和逻辑框架。 𐟓– 第一章：函数、极限、连续重点：极限的概念和求解方法。难点：连续函数的性质。 𐟓 第二章：一元函数微分学重点：导数的计算，掌握常用方法。难点：中值定理部分，常考证明题。 𐟓 第三章：一元函数积分学重点：定积分的计算。难点：定积分的应用。 𐟔 通过这些框架图，考生可以更清晰地了解每章的重点和难点，从而制定出更有效的学习计划。

统计生期末复习三大妙招，轻松过关！嘿，大家好！我是小夏，今天来给大家分享一些适合统计生的期末复习方法。期末月到了，大家是不是都在紧张地复习呢？统计这门学科，真的是让人又爱又恨啊！不过别担心，我来分享一些我亲测有效的方法，帮助大家轻松过关！ 𐟌Ÿ 擦边学习法大家都知道，万事开头难。刚开始复习的时候，可能会觉得无从下手。这时候，我们可以采用擦边学习法。比如，今天要复习数学分析，我不会强迫自己今天就看完整本书，而是先整理出老师划的重点和一些学习资料。第二天，只要告诉自己去一个安静的地方，把这些资料大致看一遍。到了第三天，再详细学习这些重点，可以是半个小时，也可以是一个小时。这样做可以让我们慢慢进入学习状态，减少对学习的恐惧和抵触感。 𐟘Ž 反派人设法假设自己是反派角色，早上定个反派出场的铃声，冷哼一声，以一种潇洒的姿态起床。遇到难题时，比如微分中值和积分中值定理没弄懂，可以在心里扬起嘴角轻蔑地说：“呵，事情变得越来越有趣了，作为可爱又迷人的反派角色，怎么可能征服不了这个玩意儿呢？”这样的心理暗示真的很有用，屡试不爽！ 𐟒ꠥ㥤𔧦…法当我们有点走神或者犯困的时候，嘴里多碎碎念：“不就是+我可以+干翻！”比如我们在复习时间序列时，可以说：“不就是AR MA ARMA三个模型嘛，不就是一些性质嘛，虽然我现在没记住，但我现在努力推导一遍，考试肯定可以记住，肯定能够做对！”这样一想，我们又充满动力了。然后要去找一些视频看人家是怎么推导的，告诉自己：“我要干翻时间序列！”很多时候学习时走神、犯困只是因为畏难，感觉这个学习任务很难，怕做不好。我们可以用“不就是+我可以+干翻”来克服自己对难题的恐惧！总之，黑猫白猫能让自己学习进去就是好猫。不管什么学习方法，只要能学进去就是好的学习方法。希望大家都能顺利度过期末月！𐟒ꀀ

𐟓š 微积分在经济数学中的应用指南 𐟓– 微积分（第五版）学习参考（经济应用数学基础）是一本由赵树嫄等编著的教材，提供了详细的习题解答和注释，帮助读者更好地理解和掌握微积分的经济应用。 𐟓š 目录概览：第一章函数第二章极限与连续第三章导数与微分第四章中值定理与导数的应用第五章不定积分第六章定积分第七章无穷级数第八章多元函数第九章微分方程与差分方程简介 𐟓 习题解答与注释：每一章都提供了详细的习题解答和注释，帮助读者巩固知识点。多考题和参考题附有解答，供读者参考和练习。 𐟒ᠥ�𙠥𛺨𜚊免费分享，资料源于网络，仅供学习交流，请勿商用！希望这本书能帮助你更好地理解和应用微积分在经济数学中的重要性。

25考研每日一题｜第362题你能把积分中值定理用到什么程度？「考研数学武忠祥超话」「2025考研」「一起做个题」「武忠祥老师每日一题」

专升本逆袭！我如何上岸𐟎“ 记得第一次跟老爸聊起专升本的事情时，他简直是强烈反对。高考失利后，他总觉得我不行，学习也不努力，专升本肯定没戏。我们吵了一架，不欢而散。后来，我跑了好多家专升本机构，选了一个比较适合我的报名了。在寝室里，室友们都在享受周末生活，我却要去学校附近的机构上课。无论刮风下雨，我都没有缺席过一节课。即使没有课，我也会去图书馆学习，或者在寝室里学习，尽管宿舍里有人在玩。我的数学一直很弱，对自己一点信心都没有。尽管花了大量时间在数学上，但对无穷级数、中值定理还有不定积分定积分这些重难点还是一点信心都没有。期间，老爸还叫我放弃，说我不行，还不如直接去工作。我们爆发了冷战，我告诉他我一定会考上的，向他证明我可以。虽然我立了flag，但一点信心都没有，数学让我越学越焦虑。全省大联考我只考了五十分左右，我很焦虑，因为学了这么久高数我还是没有达到我的目标，离专升本考试也就一个多月的时间了。缘分让我遇见了唐哥，他特意列了专题，找出经典例题给我们讲解。最后，我的数学考了110分左右。尽管在其他人看来这个分数不太高，但对我来说是一大进步。我很感激唐哥，虽然只跟了他一个月，但我的高数分数从五十提到了一百一，总的来说是很大的进步。最后，我成功考上了浙江工商大学杭州商学院。虽然因为英语压分导致我这次分数不如预期，但我很感谢备考期间的努力还有唐哥在学习上的帮助和心理上的支持，我终于上岸了。老爸最终还是支持我专升本了，我拿录取通知向他证明了我自己，我能行，我考上本科了。决定专升本的朋友们，如果你的父母不支持你，千万不要放弃，坚定自己，坚持学习，你一定会成功的。你也会像我一样向自己的父母证明自己的。如果你的父母很支持你，我觉得这是一件幸运的事情，因为也许很多人像我一样得不到父母的支持。努力吧，不要辜负父母对你的期望哦！加油，你们一定会成功上岸的！遇到迷茫的时候也可以找我聊聊，说不定我可以为你们提供有用的建议，毕竟我升本途中也遇到了很多困难。