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椭圆轨迹方程的求解之旅 定义法求椭圆轨迹方程 定义法是求解椭圆轨迹方程的经典方法。通过定义动点的运动规律,我们可以推导出其轨迹方程。例如,已知动圆P过定点A(-3,0),且在定圆B:(x-3)ⲫyⲽ100的内部与其相内切,那么动圆P的圆心轨迹方程可以通过定义法得出。 圆与圆的内切关系 在平面直角坐标系中,已知圆C:(x+1)ⲫyⲽ25,动圆C与圆C和圆C均内切,求动圆圆心C的轨迹E的方程。通过分析圆与圆的内切关系,我们可以得出轨迹方程。 垂直平分线与线段交点 已知圆(x+1)ⲫyⲽ16的圆心为B,点A(1,0),点C为圆上任意一点,求线段AC的垂直平分线与线段CB的交点P的轨迹方程。通过分析垂直平分线与线段的交点,我们可以得出轨迹方程。 内切圆的性质 在平面直角坐标系x0y中,已知点A(-1,0),B(10),设△ABC的内切圆与AC相切于点D,且ICD=1,求动点C的轨迹方程。通过利用内切圆的性质,我们可以得出轨迹方程。 斜率之积与轨迹方程 已知A(-2,0),B(2,0),直线PA、PB的斜率之积为-1,求动点P的轨迹方程。通过分析斜率之积与轨迹方程的关系,我们可以得出轨迹方程。 以线段AB为直径的圆内切于圆O 已知圆O:xⲫyⲽ4,点B(0,1),以线段AB为直径的圆内切于圆O,求点A的集合记为曲线C的方程。通过分析以线段AB为直径的圆内切于圆O的性质,我们可以得出曲线C的方程。 重心的轨迹方程 在△ABC中,B(-12,0),C(12,0),AC、AB边上的两条中线之和为39,求△ABC的重心的轨迹方程。通过分析重心的轨迹方程,我们可以得出轨迹方程。
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中国剩余定理:从数论到环论的推广 中国剩余定理是一个从数论中引出的基本结论,后来被推广到环论中。它在交换代数和代数几何等多个学科中都有应用。 定理 0.2.5:中国剩余定理 设 R 是一个环,I 和 J 是 R 的理想,且 I + J = R。那么,R ≅ (R/I) 㗠(R/J)。 证明: 考虑映射 p:R → R/I 㗠R/J,r → (r + I, r + J)。容易验证 p 是环同态。 如果 r ∈ ker p,那么 (r) = (0 + I, 0 + J),即 r ∈ I + J。因此,ker p = I + J。 现在证明 p 是满射。由于 I + J = R,对于任意的 i ∈ I 和 j ∈ J,有 i + j = 1。于是,p(i) = (0 + I, 1 + J),p(j) = (1 + I, 0 + J)。 对于任意的 x, y ∈ R,有 (i + y) = (x + I, y + J) = (c + 1, x + (0 + I, 1 + J) + y + (y + J, y + (1 + I, 0 + J))) = (y + x, x + y)。 因此,对于任意的 x, y ∈ R,存在 i, j ∈ R,使得 p(i + y) = p(x + j),即 p 是满射。 由于 ker p = I + J,根据第一同构定理,R ≅ (R/I) 㗠(R/J)。 ☑️ 口
奇变偶不变,你在哪个象限? 嘿,朋友们!如果你还不知道象限怎么分,别担心,咱们一起来看看吧!欢迎大家在评论区打出你所在的象限,让我们一起探讨一下。 首先,咱们得知道什么是象限。简单来说,象限就是把一个平面分成四个部分,每个部分都有一个特定的名字。我们平时说的“奇变偶不变”,其实就是根据这个来分的。 想象一下,你站在一个平面坐标系里,横轴是x轴,纵轴是y轴。那么,你就可以根据x和y的符号来决定你在哪个象限。比如说: 堧쬤𘀨:x>0, y>0 栧쬤:x<0, y>0 䠧쬤𘉨:x<0, y<0 ᠧ쬥象限:x>0, y<0 是不是很简单?现在,赶紧在评论区告诉我你在哪个象限吧!我们一起讨论讨论,看看大家都在哪里。 顺便提一句,如果你觉得这些象限有点复杂,不妨多看看图示或者做做小练习,慢慢就会明白啦!加油哦!
「张艺兴全新专辑step」太多人在指手画脚 No no no no 太多人都在那排队等 就是出淤泥不染 你看好-张艺兴《莲》 0Y
在平面直角坐标系xOy中,函数y=kx+b(k≠0)与y=-kx+3的图象交于点(2, 1)。 (1)求k,b的值; (2)当x>2时,对于x的每一个值,函数y=mx(m≠0)的值既大于函数y=kx+b的值,也大于函数y=-kx+3的值,直接写出m的取值范围。 ------------------ 【北京市2024年中考真题】 ------------------ @九月数学 竭诚助力中考数学提升!
最小二乘法推导详解 最小二乘法是一种在统计学和数学中常用的方法,用于估计未知参数。以下是详细推导步骤: 设已知观测数据点 $(x_i, y_i)$,其中 $i = 1, 2, ..., n$。 设定模型 $y = \beta_0 + \beta_1 x$,其中 $\beta_0$ 和 $\beta_1$ 是待求参数。 建立目标函数:$Q = \sum_{i=1}^{n} (y_i - (\beta_0 + \beta_1 x_i))^2$。 对目标函数求导: 对 $\beta_0$ 求导:$\frac{\partial Q}{\partial \beta_0} = -2 \sum_{i=1}^{n} (y_i - (\beta_0 + \beta_1 x_i))$。 对 $\beta_1$ 求导:$\frac{\partial Q}{\partial \beta_1} = -2 \sum_{i=1}^{n} (y_i - (\beta_0 + \beta_1 x_i)) x_i$。 令导数等于零,解得: $\sum_{i=1}^{n} (y_i - (\beta_0 + \beta_1 x_i)) = 0$ $\sum_{i=1}^{n} (y_i - (\beta_0 + \beta_1 x_i)) x_i = 0$ 通过解这两个方程,可以求得 $\beta_0$ 和 $\beta_1$ 的值。 展开并整理方程,得到: $n \beta_0 + \sum_{i=1}^{n} x_i \beta_1 = \sum_{i=1}^{n} y_i$ $\sum_{i=1}^{n} x_i y_i - \beta_0 \sum_{i=1}^{n} x_i - \beta_1 \sum_{i=1}^{n} x_i^2 = 0$ 通过解这两个方程,可以求得 $\beta_0$ 和 $\beta_1$ 的具体值。 总结:最小二乘法通过建立目标函数并求导,最终得到待求参数的估计值。这种方法在统计学和数学中广泛应用,特别是在回归分析和预测模型中。
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